线性代数应该这样学第三版习题解答3.A.8

第8题解答: 定义 $\vp:\R^2\to\R$ 如下\[\vp(x,y)=\begin{cases}y;\quad & 如果\, x\ne 0\\ 0;\quad &如果\, x=0\end{cases}.\]现在我们来验证对任意的 $a\in\R$ 和 $v=(x,y)\in \R^2$, 都有 $\vp(av)=a\vp(v)$.

如果 $ax\ne 0$, 则 $x\ne 0$. 因此 $\vp(x,y)=y$, 从而\[\vp(av)=\vp(a(x,y))=\vp(ax,ay)=ay=a\vp(x,y).\]如果 $a=0$ 而 $x\ne 0$, 则同样有\[vp(av)=\vp(0,0)=0=0\vp(x,y)=a\vp(v).\]如果 $x= 0$, 则有 $\vp(x,y)=0$, 从而\[\vp(av)=\vp(a(x,y))=\vp(0,ay)=0=a\vp(x,y).\]但是 $1=\vp(1,1)$ 而\[\vp(1,0)+\vp(0,1)=0+0=0.\]因此 $\vp(1,1)\ne \vp(1,0)+\vp(0,1)$ 说明 $\vp$ 不是线性映射.


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