线性代数应该这样学第三版习题解答3.A.7

第7题解答: 因为 $\dim V=1$, 我们取定一个非零向量 $w\in V$, 则 $w$ 是 $V$ 的一组基.

现在任取 $T\in\ca L(V,V)$. 因为 $Tw\in V$ 而 $w$ 是 $V$ 的一组基, 所以 $Tw$ 可以被 $w$ 线性表示. 设 $Tw=\lambda w$, 下面我们证明对任意的 $v\in V$ 有 $Tv=\lambda v$.

因为 $v$ 可以被 $w$ 线性表示, 故可设 $v=kw$, 则\[Tv=T(kw)=kT(w)=k(\lambda w)=\lambda k w=\lambda (k w)=\lambda v.\]


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