线性代数应该这样学第三版习题解答3.A.6

第6题解答:

结合律: 由定义, 对任意 $x\in V$, 我们有\[ ((T_1T_2)T_3)x=(T_1T_2)(T_3x)=T_1(T_2(T_3x)), \]同时也有\[ (T_1(T_2T_3))x=T_1((T_2T_3)x)=T_1(T_2(T_3x)). \]因此 $((T_1T_2)T_3)x=(T_1(T_2T_3))x$ 对任意的 $x\in V$ 成立, 因此 $(T_1T_2)T_3=T_1(T_2T_3)$.

单位元(恒等映射): 对任意的 $x\in V$, 我们有 \[ (TI)x=T(Ix)=Tx \]while\[(IT)x=I(Tx)=Tx.\]因此 $(IT)x=(TI)x=Tx$ 对任意的 $x\in V$ 成立, 即 $IT=TI=T$.

分配率: 我们只需要证明 $(S_1+S_2)T=S_1T+S_2T$. 对任意的 $u\in U$, 我们有 \[ ((S_1+S_2)T)u=(S_1+S_2)(Tu)=S_1(Tu)+S_2(Tu), \]同时也有 \[ (S_1T+S_2T)u=(S_1T)u+(S_2T)u=S_1(Tu)+S_2(Tu). \] 因此 $((S_1+S_2)T)u=(S_1T+S_2T)u$ 对任意的 $u\in U$ 成立, 从而 $(S_1+S_2)T=S_1T+S_2T$. 类似地, 我们也可以证明 $S(T_1+T_2)=ST_1+ST_2$.


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