线性代数应该这样学第三版习题解答3.A.5

第5题解答: 我们只需要证明如果 $T$ 和 $S$ 是线性映射, 那么 $T+S$ 和 $\lambda T$ 也是线性映射, 其中 $\lambda \in\mb F$. 则 $\ca L(V,W)$ 关于加法和数乘都封闭, 从而使一个线性空间.

对任意的 $u,v\in V$, 我们有 \begin{align*} (T+S)(u+v)=&T(u+v)+S(u+v)=Tu+Tv+Su+Sv\\ =&(Tu+Su)+(Tv+Sv)=(T+S)u+(T+S)v. \end{align*} 第一个和最后一个等号成立是因为 3.6 中的定义, 第二个等号成立是因为 $T$ 和 $S$ 是线性映射.

类似地, 对 $\eta\in\mb F$, \begin{align*} (T+S)(\eta u)=&T(\eta u)+S(\eta u)=\eta Tu+\eta Su\\ =&\eta(Tu+Su)=\eta(T+S)u. \end{align*} 结合如上结论, 我们得到 $T+S$ 是一个线性映射.

再一次, 对任意的 $u,v\in V$, 我们有 \begin{align*} (\lambda T)(u+v)=&\lambda (T(u+v))=\lambda (Tu+Tv)\\ =&\lambda (Tu)+\lambda (Tv)=(\lambda T)u+(\lambda T)v. \end{align*} 第一个和最后一个等号成立是因为 3.6 中的定义, 第二个等号成立是因为 $T$ 是线性映射.

类似地, 对 $\eta\in\mb F$, \begin{align*} (\lambda T)(\eta u)=&\lambda(T(\eta u))=\lambda(\eta T( u))\\ =&\lambda\eta(Tu)=\eta(\lambda Tu)=\eta(\lambda T)u. \end{align*} 结合如上结论, 我们得到 $T$ 是一个线性映射.


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