线性代数应该这样学第三版习题解答3.A.2

第2题解答: 我们先证明如果 $b=c=0$, 则 $T$ 是线性的. 设 $f,g\in \ca P(\R)$, 则我们容易算出有 \[(f+g)(4)=f(4)+g(4)\]和 \[(f+g)'(4)=f'(4)+g'(4).\]再者, 由于定积分是满足线性的, 所以\[\int_{-1}^2x^3(f+g)(x)dx=\int_{-1}^2x^3(f(x)+g(x))dx=\int_{-1}^2x^3f(x)dx+\int_{-1}^2x^3g(x)dx.\]由上述原因, 可得\begin{align*} T(f+g)=&(3(f+g)(4)+5(f+g)'(6),\int_{-1}^2x^3(f+g)(x)dx)\\ =&(3f(4)+5f'(6),\int_{-1}^2x^3f(x)dx)+(3g(4)+5g'(6),\int_{-1}^2x^3g(x)dx)\\ =&Tf+Tg. \end{align*}类似地, 我们可以证明$T(\lambda f)=\lambda Tf$ 对任意的 $\lambda\in \R$ 和 $f\in \ca P(\R)$ 成立. 因而 $T$ 是线性的.

反过来, 设上述线性映射为 $S$ (即 $b=c=0$ 时的). 由第5题可知 $T-S$ 也是线性的 (其实不需要第5题, 这个很容易证明). 这说明 \[(T-S)p=(bp(1)p(2),c\sin p(0))\]是线性的. 考虑 $f(x)=\pi/2$ 和 $g(x)=\pi/2$, 则 $f,g\in\ca P(\R)$. 我们有 \[ (T-S)(f+g)=(b\pi^2,c\sin \pi)=(b\pi^2,0) \]和 \[ (T-S)f+(T-S)g=(b\pi^2/2,c)+(b\pi^2/2,c)=(b\pi^2/2,2c). \]因此, 必须满足\[(b\pi^2,0)=(b\pi^2/2,2c).\]这说明 $b=c=0$.


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