线性代数应该这样学第三版习题解答3.A.13

第13题解答: 因为 $v_1$, $v_2$, $\cdots$, $v_m$ 是线性相关的, 所以存在 $a_1$, $\cdots$, $a_m\in\mb F$ 使得 \[a_1v_1+\cdots+a_mv_m=0,\]并且其中某个 $a_i\ne 0$, 我们取定这个下标 $i$. 那么令 $w_i\ne 0$ 而 $w_j=0$ 如果 $j\ne i$, 其中 $w_1$, $w_2$, $\cdots$, $w_m\in W$. 我们将证明 $T\in\ca L(V,W) $ 对每一个 $k=1,\cdots,m$ 满足 $Tv_k= w_k$.

我们用反证法. 如若不然, 我们有\[0=T(a_1v_1+\cdots+a_mv_m)=a_1w_1+\cdots+a_mw_m=a_iw_i.\]注意到由于我们的选择 $a_i\ne0$ 和 $w_i\ne 0$, 这样我们得到了矛盾. 从而命题得证.


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