线性代数应该这样学第三版习题解答3.A.12

第12题解答: 由习题2A的第14题可知存在一列向量 $W$ 中的向量 $w_1$, $w_2$, $\cdots$ 使得对任意的正整数 $m$, $w_1$, $w_2$, $\cdots$, $w_m$ 是线性无关的. 考虑线性映射 $T_i\in \ca L(V,W)$ 使得 $T_i(v_1)=w_i$, 其中 $v_1$, $v_2$, $\cdots$, $v_n$ 是 $V$ 的一组基. 由 3.5 可知这样的 $T_i$ 存在. 我们将证明对任意的正整数 $m$, $T_1$, $\cdots$, $T_m$ 是线性无关的.

假设存在数 $a_1$, $\cdots$, $a_m\in\mb F$ 使得 \[a_1T_1+\cdots+a_mT_m=0.\]Then we have $(a_1T_1+\cdots+a_mT_m)(v_1)=0$, 即 \[a_1w_1+\cdots+a_mw_m=0.\]因为 $w_1$, $W_2$, $\cdots$, $w_m$ 是线性无关的, 这说明 $a_1=\cdots=a_m=0$. 因此 $T_1$, $\cdots$, $T_m$ 是线性无关的.

再次由习题2A的第14题可知 $\ca L(V,W)$ 是无限维的.


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