线性代数应该这样学第三版习题解答3.A.11

第11题解答: 令 $u_1$, $\cdots$, $u_m$ 为 $U$ 的一组基, 由 2.33 知我们可以它扩展为 $V$ 的一组基 $u_1$, $\cdots$, $u_m$, $v_{m+1}$, $\cdots$, $v_n$. 定义 $T\in \ca L(V,W)$ 如下 \[Tu_i=Su_i,\quad Tv_{j}=0, \quad 1\le i\le m, m+1\le j \le n.\]由 3.5 可知这样的 $T$ 是存在的且唯一的. 那么对任意的 $u=a_1u_1+\cdots+a_mu_m$, $a_i\in\mb F$, 我们有 \begin{align*} Tu=&T(a_1u_1+\cdots+a_mu_m)\\ =&a_1Tu_1+\cdots+a_mTu_m\\ =&a_1Su_1+\cdots+a_mSu_m\\ =&S(a_1u_1+\cdots+a_mu_m)=Su. \end{align*}


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