线性代数应该这样学第三版习题解答2.C.8

第8题解答:

(a) 对多项式 $f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$, 如果它满足 $\int_{-1}^1 f=0$, 那么有 $a/5+d/3+e=0$. 类似第6题第7题, 可得 4 个线性无关的解, 分别为\[(0,0,0,1,0),\quad (0,0,3,0,-1)\]\[(0,1,0,0,0),\quad (5,0,0,0,-1).\]将它们带入 $f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$, 我们可以得到 $U$ 的一组基 $x$, $3x^2-1$, $x^3$ 和 $5x^4-1$.

(b) 类似第6题第7题(考虑次数), $1$, $x$, $3x^2-1$, $x^3$ 和 $5x^4-1$ 是 $\ca P_4(\mb R)$ 的一组基.

(c) 令 $W=\{c:c\in\mb R\}$, 则由 (b) 可知 $\ca P_4(\mb R)=U\oplus W$.


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