线性代数应该这样学第三版习题解答2.C.7

第7题解答:

(a) 对多项式 $f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$, 对应 $f(2)=f(5)=f(6)$ 我们可以得到关于 $a,b,c,d,e$ 的两个齐次线性方程, 容易验证它们是不相关的. 这说明对应的解空间的维数为 $3$, 因此 $U$ 的维数也是 3. 所以我们只需要在 $\ca P_4(\mb F)$ 中找到三个线性无关的多项式 $f_1,f_2,f_3$ 使得任何一个都在 $f_i(2)=f_i(5)=f_i(6)$, 其中 $i=1,2,3$. 一个例子就是 $1$, $(x-2)(x-5)(x-6)$ 和 $x(x-2)(x-5)(x-6)$. 这组基由类似第6题的方法得到的.

(b) 显然, 还是由次数的原因, 只需要补充一个一次多项式和一个二次多项式就可以了. 故 $1$, $x$, $x^2$, $(x-2)(x-5)(x-6)$ 和 $x(x-2)(x-5)(x-6)$ 是 $\ca P_4(\mb F)$ 的一组基.

(c) 令 $W=\{cx+dx^2:c\in\mb F,d\in\mb F\}$, 则由 (b) 可知 $\ca P_4(\mb F)=U\oplus W$.


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