线性代数应该这样学第三版习题解答2.C.6

第6题解答:

(a) 对于多项式 $f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$, 我们看 $f(2)=f(5)$ 时, $a,b,c,d,e$ 需要满足什么条件. 很明显 $a,b,c,d,e$ 将满足一个齐次线性方程. 该方程的解空间的维数是 4, 因此 $U$ 的维数也是 4 (为什么?). 因此我们只需要在 $\ca P_4(\mb F)$ 中找到 4 个满足线性无关的多项式, 并且它们在 $x=2$ 和 $x=5$ 取同样的值. 一个比较好的例子是 $1$, $x^2-7x+10$, $x(x^2-7x+10)$ 和 $x^2(x^2-7x+10)$. (首先我们知道同时有 $x=2$ 和 $x=5$ 为根的多项式被 $x^2-7x+10$ 整除, 所以我们可以先取 $x^2-7x+10$, $x(x^2-7x+10)$ 和 $x^2(x^2-7x+10)$; 然后注意到常数多项式也满足要求, 这就是为什么选这组基的原因)

(b) 如同第5题, 只需要补上一个一次多项即可. 所以, $1$, $x$, $x^2-7x+10$, $x(x^2-7x+10)$ 和 $x^2(x^2-7x+10)$ 是 $\ca P_4(\mb F)$ 的一组基.

(c) 令 $W=\{cx:c\in\mb F\}$, 则由 (b) 可知 $\ca P_4(\mb F)=U\oplus W$.


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