线性代数应该这样学第三版习题解答2.C.5

第5题解答:

(a) 设多项式 $f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$ 满足条件 $f”(6)=0$. 这说明我们有\[4\cdot 3\cdot a \cdot 6^2+3\cdot 2 \cdot b\cdot 6+2\cdot 1\cdot c=0.\]即 $36\cdot 12 \cdot a+36\cdot b+ 2\cdot c=0$. 显然该方程组的解空间的一组基 (以 $a,b,c,d,e$ 为顺序)为 $(1,0,0,0,0)$, $(0,1,0,0,0)$, $(0,0,-18,1,0)$ 和 $(0,0,0,-12,1)$. 将这些解代入得到对应的 $f(x)$, 这些 $f(x)$ 就是满足条件的多项式空间 $U$ 的一组基. 也就是说, $1$, $x$, $x^3-18x^2$, $x^4-12x^3$ 是 $U$ 的一组基.

(b) 和前面的题目提到的方法类似, 因为 $1$, $x$, $x^3-18x^2$, $x^4-12x^3$ 中没有二次多项式, 故只需要补充一个二次多项式即可. 我们有 $1$, $x$, $x^2$, $x^3-18x^2$ 和 $x^4-12x^3$ $\ca P_4(\mb R)$ 的一组基.

(c) 令 $W=\{cx^2:c\in\mb R\}$, 则由 (b) 问可知 $\ca P_4(\mb R)=U\oplus W$.


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