线性代数应该这样学第三版习题解答2.C.4

第4题解答:

(a) $U$ 的一组基为 $x-6$, $x^2-6x$, $x^3-6x^2$ 和 $x^4-6x^3$. 下面我们来证明之.

因为 $x-6$, $x^2-6x$, $x^3-6x^2$ 和 $x^4-6x^3$ 的次数互不相同, 所以它们线性无关.

另外, 如果一个多项式 $p(x)\in\mathcal P_4(\mb F)$ 且满足 $p(6)=0$, 那么 $p(x)$ 能被 $x-6$ 整除, 因此 \begin{align*}p(x)=&(x-6)(k_3x^3+k_2x^2+k_1x+k_0)\\=&k_3(x^4-6x^3)+k_2(x^3-6x^2)+k_1(x^2-6x)+k_0(x-6)\end{align*} 是 $x-6$, $x^2-6x$, $x^3-6x^2$ 和 $x^4-6x^3$ 的线性组合.

(b) 显然, $1$, $x-6$, $x^2-6x$, $x^3-6x^2$ 和 $x^4-6x^3$ 是 $\ca P_4(\mb F)$ 的一组基. 这是因为 $\dim \ca P_4(\mb F)=4$ 且由 $1$, $x-6$, $x^2-6x$, $x^3-6x^2$ 和 $x^4-6x^3$ 次数互不相同知它们线性无关.

(c) 令 $W=\{c:c\in\mb F\}$, 则由 (b) 可知 $\ca P_4(\mb F)=U\oplus W$.


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