线性代数应该这样学第三版习题解答2.C.17

第17题解答: 下面是一个反例.

设 $V=\mb R^2$, \[U_1=\{(x,0):x\in\R\},\]\[U_2=\{(0,y):y\in\R\},\]\[U_3=\{(x,x):x\in\R\}.\]则 $U_1+U_2+U_3=\R^2$, 因此 $\dim(U_1+U_2+U_3)=2$. 但是, \[\dim U_1=\dim U_2=\dim U_3=1\]和 \[\dim(U_1\cap U_2)=\dim (U_2\cap U_3)=\dim (U_3\cap U_1)=\dim (U_1\cap U_2\cap U_3)=0.\]因此在这个情况下, 如果命题成立的话, 我们将得到 $2=3$, 而这显然是不可能的.


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