线性代数应该这样学第三版习题解答2.C.16

第16题解答(略啰嗦, 也有别的方法证明, 我只是随便写了一种):

因为 $U_1+\cdots+U_m$ 是直和, 所以\[U_1\oplus \cdots \oplus U_m=U_1+\cdots+U_m.\]因此由第14题可知 $U_1\oplus \cdots \oplus U_m$ 是有限维的. 现在我们关于 $m$ 用数学归纳法来证明\[\dim U_1\oplus \cdots \oplus U_m= \dim U_1+\cdots+\dim U_m.\]由 2.43, 对于 $m=2$, 我们有\[\dim(U_1+U_2)=\dim U_1+\dim U_2-\dim(U_1\cap U_2)=\dim U_1+\dim U_2.\]其中 $U_1\cap U_2=0$ 是因为 $U_1+U_2$ 是直和(这个不难证明, 理由可以参照下面由 $U_1+\cdots+U_m$ 为直和推出 $U_1+\cdots+U_{m-1}$ 为直和).

现在假设等式对 $m-1$ 成立. 考虑 $m$, 如果 $U_1+\cdots+U_m$ 是直和, 这说明将 $0$ 写成 $u_1+\cdots+u_m$ 的形式, 其中 $u_j\in U_j$, 的方式唯一, 即每一个 $u_j$ 都是零向量. 因此将 $0$ 写成 $u_1+\cdots+u_{m-1}$ 的形式, 其中 $u_j\in U_j$, 的方式唯一, 即每一个 $u_j$ 都是零向量. 这说明 $U_1+\cdots+U_{m-1}$ 是直和, 因此\[\dim U_1\oplus \cdots \oplus U_{m-1}= \dim U_1+\cdots+\dim U_{m-1}.\]

另一方面, 设 $W=U_1\oplus \cdots \oplus U_{m-1}$, 则 $U_1\oplus \cdots \oplus U_m=W+U_m$. 设 $0=x+y$, 其中 $x=x_1+\cdots+x_{m-1}\in W$, $y\in u_m$, 且每一个 $x_j$ 都在 $U_j$ 里, 由 1.44 可知 $x_i=0$ 且 $y=0$. 因此由 1.44 可知 $W+U_m$ 也是直和. 现在利用我们起始步骤中 $m=2$ 的结果, 我们有\[\dim U_1\oplus \cdots \oplus U_m=\dim(W+U_m)=\dim W+\dim U_m=\dim U_1+\cdots+\dim U_{m-1}+\dim U_m.\]


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