线性代数应该这样学第三版习题解答2.C.15

第15题解答: 令 $(v_1,\cdots,v_n)$ 为 $V$ 的一组基, 则 $v_i$ 都不为零向量. 对每一个 $j\in\{1,\dots,n\}$, 设 $U_j=\mathrm{span}(v_j)$; 也就是说, $U_j=\{av_j:a\in\mathbb F\}$. 由于 $v_j$ 不为零, 因此 $\dim U_j=1$, 对任意的 $j=1,\cdots,n$ 都成立.

另一方面, 因为 $(v_1,\cdots,v_n)$ 是 $V$ 的一组基, 因此 $V$ 中每一个向量都能被唯一表示成\[a_1v_1+\cdots+a_nv_n,\]其中 $a_1$, $\cdots$, $a_n\in\mathbb F$. 由直和的定义, 前一段话说明 $V=U_1\oplus \cdots \oplus U_n$.


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