线性代数应该这样学第三版习题解答2.C.14

第14题解答: 由 1.40 可知 $U_1+\cdots+U_m$ 是 $V$ 的子空间, 因此由 2.38 知\[\dim(U_1+\cdots+U_m)\leqslant\dim V.\]从而 $U_1+\cdots+U_m$ 是有限维的. 现在我们取 $\ca W_i$ 为 $U_i$ 的一组基(看做一个集合), 那么由空间的和的定义可知, $U_1+\cdots+U_m$ 能被 $\ca W_1$, $\cdots$, $\ca W_m$ 的并集生成. 因此由 2.31 可推出\[\dim(U_1+\cdots+U_m)\leqslant \dim U_1+\cdots+\dim U_m,\]这是因为 $\ca W_1$, $\cdots$, $\ca W_m$ 的并集的元素个数不大于 $\dim U_1+\cdots+\dim U_m$.


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