线性代数应该这样学第三版习题解答2.C.10

第10题解答: 因为 $p_0$ 的次数为 $0$, 我们有 $\mathrm{span}(p_0)=\mathrm{span}(1)$. 我们将用数学归纳法.

现在假设\[ \mathrm{span}(p_0,p_1,\cdots,p_i)=\mathrm{span}(1,x,\cdots,x^i). \] 由假设和已知条件, 显然有\[ \mathrm{span}(p_0,p_1,\cdots,p_i,p_{i+1})\subset \mathrm{span}(1,x,\cdots,x^i,x^{i+1}). \]另一方面, $p_{i+1}$ 的次数为 $i+1$, 因此可以写成 \[p_{i+1}=a_{i+1}x^{i+1}+f_{i+1}(x),\]其中 $a_{i+1}\ne 0$ 和 $\deg f_{i+1}(x)\leqslant i$. 则 \[x^{i+1}=\frac{1}{a_{i+1}}(p_{i+1}-f_{i+1}(x))\in \mathrm{span}(1,x,\cdots,x^i,p_{i+1}).\]注意到 $\mathrm{span}(p_0,p_1,\cdots,p_i)=\mathrm{span}(1,x,\cdots,x^i)$, 我们得出 \[\mathrm{span}(1,x,\cdots,x^i,p_{i+1})=\mathrm{span}(p_0,p_1,\cdots,p_i,p_{i+1}).\]因此 \[x^{i+1}\in \mathrm{span}(p_0,p_1,\cdots,p_i,p_{i+1}),\]从而 \[\mathrm{span}(1,x,\cdots,x^i,x^{i+1})\subset \mathrm{span}(p_0,p_1,\cdots,p_i,p_{i+1}).\]
由数学归纳法, 可知 \[ \mathrm{span}(p_0,p_1,\cdots,p_i)=\mathrm{span}(1,x,\cdots,x^i),\]对所有 $0\leqslant i\leqslant m$ 都成立. 特别地, \[ \mathrm{span}(p_0,p_1,\cdots,p_m)=\mathrm{span}(1,x,\cdots,x^m) \]意味着 $p_0$, $p_1$, $\cdots$, $p_m$ 是 $\ca P(\mb F)$ 的一组基. 这是因为 $p_0$, $p_1$, $\cdots$, $p_m$ 是 $\ca P(\mb F)$ 的生成组且它的长度正好是 $\ca P_m(\mb F)$ 的维数(2.42).


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