线性代数应该这样学第三版习题解答2.B.8

第8题解答: 首先我们证明 $u_1,\cdots,u_m,w_1,\cdots,w_n$ 是线性无关的.

假设存在数 $a_1,\cdots,a_m\in\mathbb F$ 和 $b_1,\cdots,b_n\in\mathbb F$ 使得 \[a_1u_1+\cdots+a_mu_m+b_1w_1+\cdots+b_nw_n=0.\]因为 $V=U\oplus W$ 我们有 $U\cap W=\{0\}$. \[a_1u_1+\cdots+a_mu_m=-(b_1w_1+\cdots+b_nw_n)\in U\cap W,\]从而 \[a_1u_1+\cdots+a_mu_m=0,\quad b_1w_1+\cdots+b_nw_n=0.\]注意到 $u_1,\cdots,u_m$ 是 $U$ 的一组基而 $w_1,\cdots,w_n$ 是 $W$ 的一组基, 所以只能是\[a_1=\cdots=a_m=0\] 和 \[b_1=\cdots=b_n=0.\]因此 $u_1,\cdots,u_m,w_1,\cdots,w_n$ 是线性无关的.

现在我们只需要证明 $u_1,\cdots,u_m,w_1,\cdots,w_n$ 生成 $V$.

对任意的 $v\in V$, 因为 $V=U\oplus W$ 所以存在 $u\in U$ 和 $w\in W$ 使得 $v=u+w$. 注意到 $u_1,\cdots,u_m$ 是 $U$ 的一组基而 $w_1,\cdots,w_n$ 是 $W$ 的一组基, 所以存在数 $a_1,\cdots,a_m\in\mathbb F$ 和 $b_1,\cdots,b_n\in\mathbb F$ 使得 \[u=a_1u_1+\cdots+a_mu_m,\]\[w=b_1w_1+\cdots+b_nw_n.\]因此 \[v=u+w=a_1u_1+\cdots+a_mu_m+b_1w_1+\cdots+b_nw_n,\]这说明任意的 $V$ 中的向量都能被 $u_1,\cdots,u_m,w_1,\cdots,w_n$ 线性表示. 因此 $u_1,\cdots,u_m$, $w_1,\cdots,w_n$ 生成 $V$.

综上所述, $u_1,\cdots,u_m,w_1,\cdots,w_n$ 是 $V$ 的一组基.

对任意的 $v\in U\cap W$, 如果我们能证明 $v=0$. 由于我们是任意选取 $v$ 的, 这说明只能是 $U\cap W=0$. 类似这样的步骤有时我会省略一些, 因为说出来实在是太繁琐. 比如说, 任取 $v\in V$, 如果证明了 $v\in W$, 那么就有 $V\subset W$.


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