线性代数应该这样学第三版习题解答2.B.6

第6题解答: 首先我们需要证明 $v_1+v_2,v_2+v_3,v_3+v_4,v_4$ 是线性无关的. 假设 \[0=a(v_1+v_2)+b(v_2+v_3)+c(v_3+v_4)+dv_4,\] 那么\[av_1+(a+b)v_2+(b+c)v_3+(c+d)v_4=0.\]因为$v_1,v_2,v_3,v_4$ 是 $V$ 的一组基, 这说明 $a=0$, $a+b=0$, $b+c=0$ 和 $c+d=0$. 解之可得 $a=b=c=d=0$, 因此 $v_1+v_2,v_2+v_3,v_3+v_4,v_4$ 是线性无关的.

现在注意到\[v_3=(v_3+v_4)-v_4,\quad v_2=(v_2+v_3)-(v_3+v_4)+v_4\]和\[v_1=(v_1+v_2)-(v_2+v_3)+(v_3+v_4)-v_4,\]我们可以推出 $v_1,v_2,v_3,v_4$ 能被\[v_1+v_2,v_2+v_3,v_3+v_4,v_4\]线性表示. 因此所有能被 $v_1,v_2,v_3,v_4$ 线性表示的向量也能被 $v_1+v_2,v_2+v_3,v_3+v_4,v_4$ 线性表示. 这说明 $v_1+v_2,v_2+v_3,v_3+v_4,v_4$ 生成 $V$.

综上所述, $v_1+v_2,v_2+v_3,v_3+v_4,v_4$ 也是 $V$ 的一组基.


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