线性代数应该这样学第三版习题解答2.A.8

第8题解答: 该命题正确. 因为如果存在 $a_1$, $\cdots$, $a_m$ $\in\mathbb F$ 使得 \[a_1(\lambda v_1)+a_2(\lambda v_2)+\cdots+a_m(\lambda v_m)=0,\]我们有 \[(a_1\lambda) v_1+(a_2\lambda) v_2+\cdots+(a_m \lambda) v_m=0.\]因为 $v_1$, $v_2$, $\cdots$, $v_m$ 是线性无关的, 所以\[a_1\lambda=a_2\lambda=\cdots=a_m\lambda.\]由于 $\lambda\ne 0$, 所以我们有 $a_1=a_2=\cdots=a_m=0$, 因此 $\lambda v_1$, $\lambda v_2$, $\cdots$, $\lambda v_m$ 是线性无关的.


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