线性代数应该这样学第三版习题解答2.A.7

第7题: 该命题正确. 因为如果存在 $a_1$, $\cdots$, $a_m$ $\in\mathbb F$ 使得 \[a_1(5v_1-4v_2)+a_2v_2+\cdots+a_mv_m=0,\]我们有 \[5a_1v_1+(a_2-4a_1)v_2+a_3v_3\cdots+a_mv_m=0.\] 因为 $v_1$, $v_2$, $\cdots$, $v_m$ 是线性无关的, 所以\[5a_1=0,a_2-4a_1=0,a_3=\cdots=a_m=0.\]从而得到 $a_1=a_2=\cdots=a_m=0$, 因此由定义 2.17 知向量组\[5v_1-4v_2, v_2, v_3,\cdots,v_m\]是线性无关的.


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