线性代数应该这样学第三版习题解答2.A.4

第4题解答: 我们已经知道如果 $c=8$, 那么该向量组是线性相关的. 现在我们要证明如果这个向量组是线性相关的, 那么 $c=8$.

假设存在不全为零的 $x$, $y$ 和 $z$ 使得\begin{equation}\label{2a3}x(2,3,1)+y(1,-1,2)+z(7,3,c)=0.\end{equation} 那么我们有\[2x+y+7z=0,\quad\quad 3x-y+3z=0.\]解之可得 $x=-2z$ 和 $y=-3z$. 由于 $x$, $y$, $z$ 不全为零, 因此 $z$ 不为零. 但是, \eqref{2a3} 意味着\[x+2y+cz=0.\]将 $x=-2z$ 和 $y=-3z$ 代入上式, 我们有 \[-2z+2(-3)z+cz=0\iff (c-8)z=0.\]因此我们得到 $c=8$ (因为 $z\ne0$).

用同样的方法也可以解决第3题.


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