线性代数应该这样学第三版习题解答2.A.2

第2题解答:

(a) 如果 $v\ne 0$, 那么由习题1B的第2题 可知 $av=0$ 意味着 $a=0$, 因此 $v\in V$ 是线性无关的.

反过来, 如果 $v\in V$ 是线性无关的, 那么 $v\ne 0$. 否则, 我们有 $1v=v=0$, 即 $v$ 线性相关. 我们得到了矛盾.


(b) 如果 $v_1\in V$, $v_2\in V$ 是线性无关的, 则这两个向量必然不成比例. 否则的话, 不失一般性, 我们可以假设 $v_1=cv_2$, 那么 $1v_1+(-c)v_2=0$.这说明 $v_1\in V$, $v_2\in V$ 是线性相关的. 从而得到矛盾.

反过来, 如果 $v_1\in V$, $v_2\in V$ 线性相关, 那么存在 $a$ 和 $b$ 使得 $av_1+bv_2=0$, 其中 $a$ 和 $b$ 不全为零. 不失一般性, 我们可以设 $a\ne 0$, 那么由 $av_1+bv_2=0$ 可推出 $v_1=-\dfrac{b}{a}v_2$. 从而又得到了矛盾.


(c) 如果存在 $x,y,z,w\in\mathbb F$ 使得 \[ x(1,0,0,0)+y(0,1,0,0)+z(0,0,1,0)+w(0,0,0,1)=0, \]那么这说明 $(x,y,z,w)=(0,0,0,0)$. 因此 $x=y=z=w=0$, 所以这个向量组在 $\mathbb F^4$ 里相性无关.


(d) 我们只需要在定义 2.12 前的一句话, 那就是, “结论: 多项式的系数被多项式唯一确定”. 然后用定义 2.17 和 (c) 中类似地方法, 我们可以证明这个命题.


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