线性代数应该这样学第三版习题解答2.A.17

第17题解答: 如果 $p_0$, $p_1$, $\cdots$, $p_m$ 在 $\mathcal{P}_m(\mathbb F)$ 里线性无关, 我们将考虑向量组 $z$, $p_0$, $p_1$, $\cdots$, $p_m$.

由 2.23 可知, 线性无关向量组的长度是小于或等于生成组(spanning list)的长度. 因为 $1$, $z$, $\cdots$, $z^m$ 是 $\mathcal{P}_m(\mathbb F)$ 的生成组, 因此 $\mathcal{P}_m(\mathbb F)$ 中线性无关向量组的长度不超过 $m+1$. 因此我们知道 $z$, $p_0$, $p_1$, $\cdots$, $p_m$ 是线性相关的(长度为 $m+2$), 故由第11题可知, 存在 $a_i\in\mathbb F$ 使得\begin{equation}\label{2a31}z=a_0p_0(z)+a_1p_1(z)+\cdots+a_{m+1}p_{m+1}(z).\end{equation} 注意到 $p_j(2)=0$ 对任意的 $j=0,\cdots,m$ 都成立, 由 $(\ref{2a31})$ 可推出 $2=0$. 因此我们得到了矛盾, 从而命题得证.


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