线性代数应该这样学第三版习题解答2.A.16

第16题解答: 定义如下在区间 $[0,1]$ 上连续的实函数\[f_n=\left\{ \begin{array}{ll} x-1/n, & \hbox{$x\geqslant 1/n$;} \\ 0, & \hbox{$x\in[0,1/n]$.} \end{array} \right.\]我们将证明\[f_{n+1}\notin\text{span}\{f_1,\cdots,f_n\},\]然后用第14题我们可以推出所有在区间 $[0,1]$ 上的实连续函数组成的实线性空间是无限维的.

如果 $f_{n+1}\in\text{span}\{f_1,\cdots,f_n\}$, 那么 \[f_{n+1}(x)=a_1f_1(x)+\cdots+a_nf_n(x).\]注意到 $f_1(1/n)=\cdots=f_n(1/n)=0$, 因此 $f_{n+1}(1/n)=1/(n(n+1))\ne 0$, 我们得到了矛盾. 所以命题得证.


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