线性代数应该这样学第三版习题解答2.A.14

第14题解答: 如果存在 $V$ 里的向量数列 $v_1$, $v_2$, $\cdots$ 使得对任意的正整数 $m$, $v_1$, $v_2$, $\cdots$, $v_m$ 是线性无关的, 则 $V$ 显然是无限维的.

现在设 $V$ 是无限维的, 那么 $V$ 不能被有限个向量线性表示(生成). 我们现在通过数学归纳法来得到满足条件的 $V$ 里的向量数列 $v_1$, $v_2$, $\cdots$. 任取 $v_1\ne 0$ 为 $V$ 中的一个非零向量. 因为 $V$ 是无限维的, 那么必然存在 $v_2\in V$ 使得 $v_2\notin \text{span}\{v_1\}$. 类似地, 如果 $v_1$, $v_2$, $\cdots$, $v_m$ 是线性无关的, 那么必然存在 $v_{m+1}\in V$ 使得 $v_{m+1}\notin\text{span}\{v_1,\cdots,v_m\}$. 因为 $V$ 是无限维的, 我们可以一直重复这个过程. 因此我们得到 $V$ 里的向量数列 $v_1$, $v_2$, $\cdots$. 对任意给定的正整数 $m$, 由 2.21, 我们知道 $v_1$, $v_2$, $\cdots$, $v_m$ 是线性无关的.


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