线性代数应该这样学第三版习题解答2.A.11

第11题解答: 等价于证明 $v_1$, $v_2$, $\cdots$, $v_m$, $w$ 是线性相关的当且仅当 $w\in \mathrm{span}(v_1,\cdots,v_m)$.

如果 $v_1$, $v_2$, $\cdots$, $v_m$, $w$ 是线性相关的, 那么存在不全为零的数 $a_1$, $\cdots$, $a_m$, $b$ $\in\mathbb F$ 使得\begin{equation}\label{2a11}a_1v_1+a_2v_2+\cdots+a_mv_m+bw=0.\end{equation}如果 $b=0$, 则 $a_1v_1+\cdots+a_mv_m=0$. 这将导致 $a_1=\cdots=a_m=0$, 与假设不符. 因此 $b\ne 0$, 现在我们由 \eqref{2a11} 知\[w=-\frac{1}{b}(a_1v_1+a_2v_2+\cdots+a_mv_m)\in \mathrm{span}(v_1,\cdots,v_m).\] 反过来, 如果 $w\in \mathrm{span}(v_1,\cdots,v_m)$, 则存在 $a_1$, $\cdots$, $a_m$ $\in\mathbb F$ 使得 \[w=a_1v_1+a_2v_2+\cdots+a_mv_m,\]则\[a_1v_1+a_2v_2+\cdots+a_mv_m-w=0.\]因此 $v_1$, $v_2$, $\cdots$, $v_m$, $w$ 是线性相关的.


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