线性代数应该这样学第三版习题解答2.A.10

第10题解答: 因为 $v_1+w$, $\cdots$, $v_m+w$ 是线性相关的, 所以存在不全为零的数 $a_1$, $\cdots$, $a_m$ $\in\mathbb F$ 使得 \[a_1(v_1+w)+a_2(v_2+w)+\cdots+a_m(v_m+w)=0.\]因此我们有\[a_1v_1+\cdots+a_mv_m+(a_1+\cdots+a_m)w=0.\]如果 $a_1+\cdots+a_m=0$, 那么 $a_1v_1+\cdots+a_mv_m=0$. 这将导致 $a_1=\cdots=a_m=0$, 与假设不符. 因此 $a_1+\cdots+a_m\ne 0$, 于是我们有\[w=-\frac{1}{a_1+\cdots+a_m}(a_1v_1+\cdots+a_mv_m)\in\mathrm{span}(v_1,\cdots,v_m).\]


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