线性代数应该这样学第三版习题解答1.C.9

第9题解答: 设从 $\mathbb R$ 到 $\mathbb R$ 的所有周期函数全体组成的集合为 $S$. 那么 $S$ 不是 $\mathbb R^{\mathbb R}$ 的线性子空间.

我们用反证法来证明. 如若不然, 我们有 $h(x)=\sin\sqrt{2}x+\cos x\in S$ 因为 $f(x)=\sin\sqrt{2}x$ 和 $g(x)=\cos x$ 都是从 $\mathbb R$ 到 $\mathbb R$ 的周期函数. 假设存在一个正实数 $p$ 使得 $h(x)=h(x+p)$ 对任意的 $x\in\mathbb R$ 成立, 那么 $1=h(0)=h(p)=h(-p)$. 这等价于 \[1=\cos p+\sin\sqrt{2}p=\cos p-\sin\sqrt{2}p,\]于是有 $\sin\sqrt{2}p=0$ 和 $\cos p=1$. $\cos p=1$ 可推出 $p=2k\pi$, 其中 $k\in \mathbb Z$. 但是 $\sin\sqrt{2}p=0$ 推出 $\sqrt{2}p=2l\pi$, 其中 $l\in\mathbb Z$. 因此 \[\sqrt{2}=\frac{2l\pi}{2k\pi}=\frac{l}{k}\in\mathbb Q,\]这是不可能的. 因此我们得到矛盾, 从而命题得证.


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