线性代数应该这样学第三版习题解答1.C.7

第7题解答: 设 $\{(x,y)\in\mathbb R^2:x,y\in\mathbb Z\}$ 为 $U$, 那么显然 $U$ 不是空集. 如果 $(x_1,y_1)\in A$ 和 $(x_2,y_2)\in A$, 那么 $x_1,x_2,y_1,y_2\in\mathbb Z$. 因此 $x_1+x_2$ 和 $y_1+y_2$ 都是整数. 这说明\[(x_1+x_2,y_1+y_2)=(x_1,y_1)+(x_2,y_2)\in U,\]即 $U$ 加法封闭.

同样地, 因为 $(-x_1,-y_1)\in U$, 这说明 $U$ 对于加法取逆是封闭的. 但是, $U$ 对于数乘不封闭. 因为 $(1,1)\in A$ 然而 $\dfrac{1}{2}(1,1)\notin U$.

因此 $U$ 不是 $\mathbb R^2$ 的线性子空间.


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