线性代数应该这样学第三版习题解答1.C.6

第6题解答:

(a) 因为在实数域里 $a^3=b^3$ 当且仅当 $a=b$, 所以\[\{(a,b,c)\in\mathbb R^3:a^3=b^3\}=\{(a,b,c)\in\mathbb R^3:a=b\}.\]用类似于第一题第二题的方法, 我们显然可以知道它是 $\mathbb R^3$ 的线性子空间.


(b) 注意到\[x=\left(1,\frac{-1+\sqrt{3}i}{2},0\right)\in\{(a,b,c)\in\mathbb C^3:a^3=b^3\}\]和\[y=\left(1,\frac{-1-\sqrt{3}i}{2},0\right)\in\{(a,b,c)\in\mathbb C^3:a^3=b^3\}.\]但是,\[x+y=(2,-1,0)\notin \{(a,b,c)\in\mathbb C^3:a^3=b^3\}.\]这说明 $\{(a,b,c)\in\mathbb C^3:a^3=b^3\}$ 对于加法不封闭, 因此不是 $\mathbb C^3$ 的线性子空间.

这说明考虑一个子集是不是线性子空间, 基底域 $\mathbb F$ 很重要.


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