线性代数应该这样学第三版习题解答1.C.4

第4题解答: 设由所有在区间 $[0,1]$ 上连续且满足 $\int_0^1f=b$ 的实值函数全体组成的集合为 $V_b$.

如果 $V_b$ 是 $\mathbb R^{[0,1]}$ 的线性子空间, 那么对任意的 $f\in V_b$, 我们有 $\int_0^1f=b$. 因为 $V_b$ 是 $\mathbb R^n$ 的线性子空间, 对任意的 $k\in\mathbb R$, 我们有 $kf\in V_b$. 因此\[b=\int_0^1(kf)=k\int_0^1f=kb,\]对任意的实数 $k$ 都成立. 因此只能是 $b=0$.

反过来设 $b=0$, 那么对任意的 $f,g\in V_0$ 和 $\lambda\in\mathbb R$. 我们有\[\int_0^1(f+g)=\int_0^1f+\int_0^1g=0+0=0.\]另外因为 $f$ 和 $g$ 是在区间 $[0,1]$ 上连续的实值函数, 所以 $f+g$ 也是在区间 $[0,1]$ 上连续的实值函数. 这说明 $f+g\in V_0$, 即 $V_0$ 加法封闭.

同样地, 我们有\[\int_0^1(\lambda f)=\lambda\int_0^1f=k0=0.\]因为 $f$ 是在区间 $[0,1]$ 上连续的实值函数, 所以 $\lambda f$ 也是在区间 $[0,1]$ 上连续的实值函数. 这说明 $\lambda f\in V_0$, 即 $V_0$ 数乘封闭. 另一方面, 零值常数函数 $f\equiv 0\in V_0$, 它是 $\mathbb R^{[0,1]}$ 的加法单位, 因此也满足 $V_0$ 的加法单位性质.

综上所述, 由 1.34, $V_0$ 是$\mathbb R^n$ 的线性子空间.


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