线性代数应该这样学第三版习题解答1.C.3

第3题解答: 设由所有在区间 $(-4,4)$ 上可导且满足 $f'(-1)=3f(2)$ 的实值函数组成的集合为 $V$.

加法单位元: 显然恒为 $0$ 的常数函数 $f\equiv 0$ 被包含在 $V$ 里.

加法封闭: 如果 $f,g\in V$, 那么 $f$ 和 $g$ 是在 $(-4,4)$ 上可导的实值函数. 因此 $f+g$ 也是在 $(-4,4)$ 上可导的实值函数. 另外,\[(f+g)'(-1)=f'(-1)+g'(-1)=3f(2)+3g(2)=3(f(2)+g(2))=3(f+g)(2).\]这说明 $f+g\in V$, 即 $V$ 加法封闭.

数乘封闭: 如果 $f\in V$, 那么 $f$ 是在 $(-4,4)$ 上可导的实值函数. 因此, 对任意的 $\lambda\in \mathbb R$, $\lambda f$ 也是在 $(-4,4)$ 上可导的实值函数. 另外,\[(\lambda f)'(-1)=\lambda f'(-1)=\lambda (3f)(2)=3(\lambda f)(2).\]这说明 $\lambda f\in V$, 即 $V$ 数乘封闭.


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