线性代数应该这样学第三版习题解答1.C.24

第24题解答: 对任意的 $f\in \R^\R$, 定义
\[f_e(x)=\dfrac{f(x)+f(-x)}{2},\quad f_o(x)=\dfrac{f(x)-f(-x)}{2}.\]那么显然有 $f_e,f_o\in\R^\R$.

另外, 对任意的 $x\in \R$, 我们有\[f_e(-x)=\frac{f(-x)+f(x)}{2}=\frac{f(x)+f(-x)}{2}=f_e(x)\]和\[f_o(-x)=\frac{f(-x)-f(x)}{2}=-\frac{f(x)-f(-x)}{2}=-f_o(x).\]因此 $f_e\in U_e$ 和 $f_o\in U_o$. 另外注意到\[f(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}+\frac{f(x)-f(-x)}{2}=f_e(x)+f_o(x),\]因此 $f=f_e+f_o\in U_e+U_o$. 因为 $f$ 是任意选定地, 所以我们得到$\R^\R=U_e+U_o$.

由 1.45 可知, 要证明 $\R^\R=U_e\oplus U_o$, 只需证明 $U_e\cap U_o=\{0\}$. 设 $f\in U_e\cap U_o$, 那么有 $f\in U_e$ 知 $f(x)=f(-x)$ 对所有的 $x\in\R$ 成立; 另一方面, 由 $f\in U_o$ 知 $f(x)=-f(-x)$ 对所有的 $x\in\R$ 成立. 把 $f(x)=f(-x)$ 和 $f(x)=-f(-x)$ 加起来, 我们得到 $f(x)=0$ 对所有的 $x\in\R$ 成立. 因此 $f\equiv 0$, 这说明 $U_e\cap U_o=\{0\}$.


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