线性代数应该这样学第三版习题解答1.C.21

第21题解答: 因为在 $U$ 里前两个坐标可以随便选, 而后三个坐标和前两个坐标有关, 所以我们可以直接猜测取 $W$ 使得 $W$ 里的元素前两个坐标为零而后三个坐标可以随便选.

令 $W=\{(0,0,z,w,s)\in\mb F^5:x,y\in\mb F\}$.

如果 $(x,y,z,w,s)\in U\cap W$, 那么由 $(x,y,z,w,s)\in W$ 知 $x=y=0$. 另外, 因为 $(x,y,z,w,s)\in U$, 我们有 \[z=x+y,\quad w=x-y,\quad s=2x.\]所以 $z=w=s=0$, 从而 $U\cap W=\{0\}$.

另一方面, 对任意的 $(x,y,z,w,s)\in\mb F^5$, 因为\[(x,y,x+y,x-y,2x)\in U\]和\[(0,0,z-x-y,w-x+y,s-2x)\in W,\]我们有\[(x,y,z,w,s)=(x,y,x+y,x-y,2x)+(0,0,z-x-y,w-x+y,s-2x)\in U+W.\]所以 $\mb F^5=U+W$.

综上所述, 由 1.45 可知 $\mb F^5 =U\oplus W$.


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