线性代数应该这样学第三版习题解答1.C.20

第20题解答: 取 $W=\{(0,z,0,w)\in\mb F^4:z,w\in\mb F\}$. 因为 $(x,x,z,z)\in U$ 和 $(0,y-x,0,w-z)\in W$, 所以对任意的 $(x,y,z,w)\in\mb F^4$, 我们有\[(x,y,z,w)=(x,x,z,z)+(0,y-x,0,w-z)\in U+W.\]从而有 $\mb F^4=U+W$.

另一方面, 如果 $(x,y,z,w)\in U\cap W$, 那么由 $(x,y,z,w)\in U$ 我们必须有 $x=y$ 和 $z=w$.

类似地, 因为 $(x,y,z,w)\in W$, 我们有 $x=0$ and $z=0$. 因此, $x=y=0$ 和 $z=w=0$, 从而 $(x,y,z,w)=(0,0,0,0)$. 于是我们得到 $U\cap W=\{0\}$.

综上所述, 由 1.45 知 $F^4=U\oplus W$.


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