线性代数应该这样学第三版习题解答1.C.2

第2题解答:

(a) 假设它是 $\mathbb F^4$ 的线性子空间, 那么 $(0,0,0,0)\in \mathbb F^4$ 被包含在这个子空间里, 因此 $0=5\cdot 0+b$. 所以 $b=0$. 反过来, 通过和第一题(d)问同样地步骤, 我们可以证明当$~b=0$ 时, 它的确是 $\mathbb F^4$ 的线性子空间.


(b) (c) 和 (d) 和第三题第四题类似.


现在我们考虑 (e). 定义所有极限为 $0$ 的复数列组成的集合为 $A$.

加法单位元: 显然 $(0,0,\cdots)\in A$.

加法封闭: 如果 $(a_1,a_2,\cdots),(b_1,b_2,\cdots)\in A$, 那么\[\lim_{n\to\infty}a_n=0,\quad\lim_{n\to\infty}b_n=0.\]显然我们有\[\lim_{n\to\infty}(a_n+b_n)=\lim_{n\to\infty}a_n+\lim_{n\to\infty}b_n=0+0=0.\]这意味着 $(a_1+b_1,a_2+b_2,\cdots)=(a_1,a_2,\cdots)+(b_1,b_2,\cdots)\in A$.

数乘封闭: 如果 $(a_1,a_2,\cdots)\in A$, 那么\[\lim_{n\to\infty}a_n=0.\]对任意的 $\lambda\in\mathbb C$, 显然我们有\[\lim_{n\to\infty}(\lambda a_n)=\lambda\lim_{n\to\infty} a_n=\lambda 0=0.\]这说明 $\lambda(a_1,a_2,\cdots)=(\lambda a_1,\lambda a_2,\cdots)\in A$.


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