线性代数应该这样学第三版习题解答1.C.14

第14题解答: 很显然 $U$ 和 $W$ $\mathbb{F}^4$ 的线性子空间.

现在假设 $(x_1,x_1,y_1,y_1)\in U$ 和 $(x_2,x_2,x_2,y_2)\in W$, 那么 \begin{align*} &(x_1,x_1,y_1,y_1)+(x_2,x_2,x_2,y_2)\\=&(x_1+x_2,x_1+x_2,y_1+x_2,y_1+y_2) \in \{(x,x,y,z):x,y,z\in\mathbb F^4\}. \end{align*} 因此 $U+W\subset \{(x,x,y,z):x,y,z\in\mathbb F^4\}$.

对任意的 $x,y,z\in\mathbb F$, 我们有 $(0,0,y-x,y-x)\in U$ 和 $(x,x,x,z+x-y)\in W$. 但是, \[ (x,x,y,z)=(0,0,y-x,y-x)+(x,x,x,z+x-y)\in U+W, \]因此 $\{(x,x,y,z):x,y,z\in\mathbb F^4\}\subset U+W$.

结合以上几点, 我们得到 $U+W=\{(x,x,y,z):x,y,z\in\mathbb F^4\}$.


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