线性代数应该这样学第三版习题解答1.C.12

第12题解答: 设 $U$ 和 $W$ 是 $V$ 的线性子空间. 我们用反证法来证明.

如果 $U\cup W$ 是 $V$ 的线性子空间, 并且 $U\nsubseteq W$,$W\nsubseteq U$. 考虑 $u\in U\setminus W$ 和 $w\in W\setminus U$, 那么由 $U\cup W$ 是 $V$ 的子空间可知 $u+w\in U\cup W$. 因此 $u+w\in U$ 或 $W$.

如果 $u+w\in U$, 那么 $w=(u+w)-u\in U$. 我们得到矛盾.

如果 $u+w\in W$, 那么 $u=(u+w)-w\in W$. 我们仍然得到矛盾.

因此如果 $U\cup W$ 是 $V$ 的线性子空间, 则必然有 $U\subset W$ 或 $W\subset U$.

反过来,如果 $U\subset W$ or $W\subset U$. 不失一般性, 我们可以设 $U\subset W$. 那么 $U\cup W=W$ 显然是 $V$ 的线性子空间.


您的鼓励是我写作最大的动力

如果您感觉我的解答质量不错,读后收获很大,不妨小额捐助我一下,让我有动力继续更新写出更多好答案。左边是支付宝,右边是微信。
支付宝打赏微信打赏