线性代数应该这样学第三版习题解答1.C.11

第11题解答: 假设 $U_i$ 是 $V$ 的线性子空间, 其中 $i\in I$. 现在我们将要证明 $\cap_{i\in I}U_i$ 也是 $V$ 的线性子空间.

加法单位: 由定义知 $0\in U_i$ 对任意的 $i\in I$ 都成立, 因此 $0\in \cap_{i\in I}U_i$.

加法封闭: 如果 $x\in \cap_{i\in I}U_i$ 和 $y\in \cap_{i\in I}U_i$, 那么对任意给定的 $i\in I$, 我们有 $x\in U_i$ 和 $y\in U_i$, 因此由 $U_i$ 加法封闭可知 $x+y\in U_i$. 因此 $x+y\in \cap_{i\in I}U_i$.

数乘封闭: 如果 $x\in \cap_{i\in I}U_i$, 那么 $x\in U_i$ 对任意给定的 $i\in I$ 都成立. 现在任取 $\lambda\in\mathbb F$, 由于 $U_i$ 数乘封闭我们知道 $\lambda x\in U_i$. 因此 $\lambda x\in \cap_{i\in I}U_i$.


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