线性代数应该这样学第三版习题解答1.C.1

第1题解答:

(a) $\{(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb F^3:x_1+2x_2+3x_3=0\}$ 是 $\mathbb F^3$ 的线性子空间. 由 1.34 可知, 要证明一个子集是子空间, 我们只需要证明”加法单位”存在, 加法和数乘封闭.

“加法单位”存在: 显然 $\mathbb F^3$ 的加法单位 $(0,0,0)$ 被包含在子集 $\{(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb F^3:x_1+2x_2+3x_3=0\}$ 里.

加法封闭: 如果 $(a_1,a_2,a_3),(b_1,b_2,b_3)\in \{(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb F^3:x_1+2x_2+3x_3=0\}$, 那么\[a_1+2a_2+3a_3=0\quad\text{and} \quad b_1+2b_2+3b_3=0.\]因此\[(a_1+b_1)+2(a_2+b_2)+3(a_3+b_3)=(a_1+2a_2+3a_3)+(b_1+2b_2+3b_3)=0,\]这意味着 $(a_1+b_1,a_2+b_2,a_3+b_3)=(a_1,a_2,a_3)+(b_1,b_2,b_3)$ 也被包含在 $\{(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb F^3:x_1+2x_2+3x_3=0\}$ 里.

数乘封闭: 如果 $(a_1,a_2,a_3)\in \{(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb F^3:x_1+2x_2+3x_3=0\}$, 那么 $a_1+2a_2+3a_3=0$. 对任意的 $\lambda\in\mathbb F$, 我们有\[\lambda a_1+2(\lambda a_2)+3(\lambda a_3)=\lambda(a_1+2a_2+3a_3)=0.\]这说明 \[\lambda(a_1,a_2,a_3)=(\lambda a_1,\lambda a_2,\lambda a_3)\in \{(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb F^3:x_1+2x_2+3x_3=0\}.\]


(b) $\{(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb F^3:x_1+2x_2+3x_3=4\}$ 不是 $\mathbb F^3$ 的子空间, 因为 $(0,0,0)$ 不在这个子集里.


(c) $\{(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb F^3:x_1 x_2 x_3=0\}$ 不是 $\mathbb F^3$ 的子空间, 因为 $(1,1,0)$ 和 $(0,1,1)$ 在这个子集里, 但是它们的和 $(1,2,1)=(1,1,0)+(0,1,1)$ 不在这个子集里.


(d) $\{(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb F^3:x_1=5x_3\}$ 是 $\mathbb F^3$ 的线性子空间.

“加法单位”存在: 显然 $\mathbb F^3$ 的加法单位 $(0,0,0)$ 被包含在子集 $\{(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb F^3:x_1=5x_3\}$.

加法封闭: 如果 $(a_1,a_2,a_3),(b_1,b_2,b_3)\in \{(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb F^3:x_1=5x_3\}$, 那么 $a_1=5a_3$ and $b_1=5b_3$. 因此\[a_1+b_1=5a_3+5b_3=5(a_3+b_3),\]这说明
$(a_1+b_1,a_2+b_2,a_3+b_3)=(a_1,a_2,a_3)+(b_1,b_2,b_3)$ 也被包含在 $\{(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb F^3:x_1=5x_3\}$.

数乘封闭: 如果 $(a_1,a_2,a_3)\in \{(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb F^3:x_1=5x_3\}$, 那么 $a_1=5a_3$. 对任意的 $\lambda\in\mathbb F$, 我们有 $\lambda a_1=\lambda(5 a_3)=5(\lambda a_3)$. 这说明 \[\lambda(a_1,a_2,a_3)=(\lambda a_1,\lambda a_2,\lambda a_3)\in \{(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb F^3:x_1=5x_3\}.\]


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