线性代数应该这样学第三版习题解答1.B.6

第6题解答: 这不是一个 $\mathbb R$ 上的线性空间. 考虑 1.19 中的分配律. 如果它是 $\mathbb R$ 上的线性空间, 我们将会得到 \[\infty=(2+(-1))\infty=2\infty+(-1)\infty=\infty+(-\infty)=0.\]因此对任意的 $t\in\mathbb R$, 我们有\[t=0+t=\infty+t=\infty=0.\]我们得到了矛盾, 因为加法单位是唯一的.


另解: 注意到\[(\infty + \infty) + (-\infty) = \infty + (-\infty) = 0,\]\[\infty + (\infty + (-\infty)) = \infty + 0 = \infty.\]这说明它不满足加法结合律, 所以不是线性空间.


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