线性代数应该这样学第三版习题解答1.A.7

第7题解答: 设 $\alpha=x_1+y_1i$, $\beta=x_2+y_2i$, 其中 $x_1,x_2$ 和 $y_1,y_2$ 是实数. 因为 $\alpha$ 是给定, 所以 $x_1,y_1$ 是给定的. 现在我们要求 $x_2,y_2$ 使得 $\alpha+\beta=0$.

如果 $\alpha+\beta=0$, 那么 \[ 0=\alpha+\beta=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i. \]这意味着 $x_2=-x_1$ 和 $y_2=-x_1$, 因此这样的 $\beta$ 最多只有一个.

另一方面, 令 $\beta=-x_1-y_1i$, 通过上面的计算我们知道 $\alpha+\beta=0$, 因此我们证明了存在性.

综上所述, 这样的 $\beta$ 有且仅有一个.


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