线性代数应该这样学第三版习题解答1.A.6

第6题解答: 设 $\alpha=x_1+y_1i$, $\beta=x_2+y_2i$, $\lambda=x_3+y_3i$, 其中 $x_1,x_2,x_3$ 和 $y_1,y_2,y_3$ 是实数. 于是有 \begin{align*} (\alpha\beta)\lambda=&((x_1x_2-y_1y_2)+(x_1y_2+y_1x_2)i)(x_3+y_3i)\\ =&((x_1x_2-y_1y_2)x_3-(x_1y_2+y_1x_2)y_3)\\&+((x_1x_2-y_1y_2)x_3+(x_1y_2+y_1x_2)y_3)i. \end{align*} 同样地, 我们有 \begin{align*} \alpha(\beta\lambda)=&(x_1+y_1i)((x_2x_3-y_2y_3)+(x_2y_3+y_2x_3)i)\\ =&(x_1(x_2x_3-y_2y_3)-y_1(x_2y_3+y_2x_3))\\&+(x_1(x_2y_3-y_2x_3)+y_1(x_2x_3+y_2y_3))i. \end{align*} 很容易看出\[ (x_1x_2-y_1y_2)x_3-(x_1y_2+y_1x_2)y_3=x_1(x_2x_3-y_2y_3)-y_1(x_2y_3+y_2x_3) \]和\[ (x_1x_2-y_1y_2)x_3+(x_1y_2+y_1x_2)y_3=x_1(x_2x_3-y_2y_3)-y_1(x_2y_3+y_2x_3), \] 所以我们推得 $(\alpha\beta)\lambda=\alpha(\beta\lambda)$.


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