线性代数应该这样学第三版习题解答1.A.3

第3题解答: 如果我们知道 $i=e^{\pi i/2}$, 那么它的平方根为 $e^{\pi i/4}$ 和 $e^{(\pi i/2+2\pi i)/2}=e^{5\pi i/4}$.

注意到对任意的实数 $x$, 我们有 $e^{xi}=\cos x+i\sin x$. 因此\[e^{\pi i/4}=\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}(1+i)}{2},\]\[e^{5\pi i/4}=\cos\frac{5\pi}{4}+i\sin\frac{5\pi}{4}=\frac{-\sqrt{2}(1+i)}{2}.\]所以 $i$ 的平方根为 $\dfrac{\sqrt{2}(1+i)}{2}$ 和 $-\dfrac{\sqrt{2}(1+i)}{2}$.


另解: 当然我们也可以直接求解.

假设 $a+bi$ 是 $i$ 的平方根, 其中 $a,b$ 为实数, 那么我们有 $(a+bi)^2=i$. 这说明 $a^2-b^2=0$ 和 $2ab=1$. 由 $a^2-b^2=0$ 知 $a=b$ 或者 $a=-b$. 但是 $a=-b$ 说明 $1=2ab=-2a^2$. 由于 $a$ 是实数, 这不可能. 因此只能是 $a=b$.

如果 $a=b$, 那么 $2ab=2a^2=1$, 因此 $a=b=\pm \sqrt{2}/2$. 所以 $i$ 的平方根为 $\dfrac{\sqrt{2}(1+i)}{2}$ 和 $-\dfrac{\sqrt{2}(1+i)}{2}$.


您的鼓励是我写作最大的动力

如果您感觉我的解答质量不错,读后收获很大,不妨小额捐助我一下,让我有动力继续更新写出更多好答案。左边是支付宝,右边是微信。
支付宝打赏微信打赏