线性代数应该这样学第三版习题解答1.A.2

第2题解答1: 通过直接计算, 我们有\[\left(\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\right)^2=\frac{-1-\sqrt{3}i}{2},\]因此\[\left(\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\right)^3=\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}\cdot\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}=1.\]这意味着 $\dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2}$ 是 1 的立方根.


第2题解答2: 注意到 \[(a+bi)+(a-bi)=2a,\qquad (a+bi)(a-bi)=a^2+b^2,\] 所以\[\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}+\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}=-1,\qquad \frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}=1.\]我们有 $\dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2}$ 是一元二次方程 $x^2+x+1=0$ 的一个根(韦达定理). 另一方面, 由公式\[x^3-1=(x-1)(x^2+x+1),\]我们可以得到\[\left(\dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2}\right)^3=1.\]


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